PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN A2 - C2

PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN A2 - C2

A. CHƯƠNG 1: MA TRẬN – ĐỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

I. MA TRẬN

1.      Xác định cấp của ma trận

-         Ma trận vuông: Cấp là số dòng hoặc số cột

-         Ma trận chữ nhật: Cấp là : m x n  trong đó m là số dòng, n là số cột

2.      Xác định phần tử a_ij của ma trận A với i, j cho trước

        a_ij được xác định bởi giao của dòng i và cột j

3.      Nhận dạng ma trận bậc thang

Thỏa mãn 2 điều sau:

-         Dòng bằng 0 nằm dưới tất cả các dòng khác 0

-         Phần tử khác 0 đầu tiên ( tính từ trái sang phải) của dòng dưới phải nằm về bên phải phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trên

4.      Viết ma trận chuyển vị của một ma trận đã cho

       Viết dòng thành cột

5.      Thực hiện các phép toán trên các ma trận

      a)   Hai ma trận bằng nhau: Các phần tử ở cùng vị trí phải bằng nhau

b)     Cộng – trừ hai ma trận ( cùng cấp): Cộng – trừ các phần tử ở cùng vị trí cho nhau

c)     Nhân một số khác 0 với một ma trận : Nhân số đó với tất cả các phần tử của ma trận

d)     Nhân ma trận dòng với ma trận cột: Kết quả được một phần tử

Nhân tương ứng phần tử thứ nhất của dòng với phần tử thứ nhất của cột,  nhân phần tử thứ hai của dòng với phần tử thứ hai của cột,…. rồi cộng các tích này lại

e)     Nhân hai ma trận A _{m x n} .B_{n x p}  = C_{m x p} = (c _ij )_{m x p}  

       ( điều kiện để thực hiện được phép nhân là số cột của A phải bằng số dòng của B )

        Ma trận tích được xác định như sau:

        c₁₁ = dòng 1 nhân cột 1, c₁₂ = dòng 1 nhân cột 2,…

       Tổng quát c_ij = dòng i  nhân cột j

6.      Nêu tính chất của các phép toán ( xem giáo trình trang 13)

7.   Phép biến đổi sơ cấp dòng
      - d_i ↔ d_j

      - d_i →  c.d_i  ( c ≠ 0)

      - d_i → d_i +  c.d_j  ( c ≠ 0 , i ≠ j) 

II. ĐỊNH THỨC

1.      Tính định thức của một ma trận

Ma trận cấp 1: detA = a₁₁

Ma trận cấp 2: detA = tích đường chéo chính trừ tích đường chéo phụ ;

          Nghĩa là detA = a₁₁.a₂₂ – a₂₁.a₁₂

Ma trận cấp lớn hơn hoặc bằng 3 : Khai triển theo dòng hoặc cột có nhiều số 0

Hoặc dùng phép biến đổi sơ cấp để đưa về dạng tam giác hoặc dạng khối

1.      Tính định thức của ma trận tích, ma trận tổng, ma trận hiệu.

-         Det (A.B) = detA.detB;         det(A.A ^{– 1}) = 1

-         Thực hiện phép toán cộng – trừ  sau đó tính định thức của ma trận ở kết quả phép toán

2.      Tìm điều kiện của tham số để định thức thỏa mãn một số tính chất nào đó

       - Tìm điều kiện để định thức dương, định thức âm, định thức bằng 0: Tính định thức để đưa về bất phương trình , phương trình . Sau đó giải để tìm giá trị của tham số.

3.      Giải phương trình cho dưới dạng định thức

        Tính định thức để đưa về phương trình  đã biết cách giải

4.      Nêu tính chất của định thức

-         detA = detA^t

      -    detA = detA^/  với A^/  có d_i → d_i +  c.d_j  ( c ≠ 0 , i ≠ j)

      -    detA =  c.detA^/  với A^/  có d_i →   c.d_i  ( c ≠ 0 )

-         det (A.B) = detA.detB

III. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

1.      Tìm ma trận nghịch đảo của một ma trận A cho trước

Cách 1: Dùng phép biến đổi sơ cấp

              Viết ma trận đơn vị ( cùng cấp với A) vào bên phải ma trận A.

              Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng biến A thành ma trận I khi đó ma trận I trở thành ma                       trận A ^{– 1}

Cách 2: Dùng định thức

               Tính detA: Nếu detA = 0 thì A không có nghịch đảo

                                  Nếu detA ≠ 0 thì tính ma trận C với 

              IV. HẠNG CỦA MA TRẬN

1.      Tính hạng của ma trận A

      Biến đổi ma trận Avề ma trận bậc thang B; số dòng khác 0 của ma trận bậc thang B là hạng của ma trận A

2.      Tính giá trị của tham số để hạng của ma trận nhỏ hơn hoặc bằng một số thực k cho trước

Đưa ma trận về dạng bậc thang , rồi tìm điều kiện của tham số để số dòng của ma trận bậc thang này nhỏ hơn hoặc bằng k

V. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

      1. Xác định ma trận hệ số của hệ phương trình: Là ma trận có : cột 1 là hệ số của biến thứ nhất, cột 2 là hệ số của biến thứ hai,….

      2. Giải hệ phương trình :

CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN VECTƠ

1.      Chứng minh một tập hợp W là không gian con của một không gian vecto Rⁿ

Chứng minh W thỏa 2 điều kiện sau:

             ta có :

+

+

2.      Tìm số chiều của không gian con W

+ Nếu W cho dưới dạng tập hợp

+ Nếu W cho dưới dạng hệ sinh

3.      Xác định một vec tơ x  thuộc hay không thuộc không gian vec tơ W đã cho

Xác định tính chất chung của các vec tơ có trong W; Rồi kiểm tra xem véc tơ x có tính chất chung đó không :

Nếu có thì x là vec tơ thuộc W ; Ngược lại x không thuộc W

4.      Tìm điều kiện của tham số để một vec tơ thuộc không gian W đã cho

5.      Chứng minh một hệ véc tơ nào đó là cơ sơ của một không gian W; là hệ sinh.

6.      Tìm cơ sở của một không gianW

7.      Xác định số vec tơ của một không gian cho bởi hệ sinh; cho bởi một tập hợp vec tơ

8.      Chứng minh một hệ vec tơ độc lập tuyến tính; phụ thuộc tuyến tính

9.      Chứng minh một hệ véc tơ là cơ sở của Rⁿ ; là cơ sở trực giao của Rⁿ

10. Tìm hạng của một hệ vec tơ M

11. Tìm điều kiện của tham số để hạng của hệ thỏa điều kiện đề bài

12. Tìm tọa độ của một véc tơ đối với một cơ sở cho trước

CHƯƠNG 3: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

1.      Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận AXTT

2.      Tìm vec tơ riêng ứng với giá trị riêng cho trước

3.      Tìm không gian riêng ứng với giá trị riêng cho trước

4.      Xác định ma trận đặc trưng của ma trận A

5.      Tìm ma trận P làm chéo hóa ma trận A

6.      Thực hiện chéo hóa các ma trận

7.      Chứng minh một ánh xạ cho trước là AXTT

8.      Chứng minh một véc tơ cho trước thuộc Imf; thuộc kerf